“空间矢量”在交流电机理论中常被用到。分析交流绕组基波磁动势时，提出了一种“空间矢量”模型；建立交流电机动态数学模型时也提出了一种“空间矢量”模型，并以此为基础建立了空间矢量脉宽调制（SVPWM）、矢量控制（VC）、直接转矩控制（DTC）等方法。目前以“空间矢量”为基础的各种思想、方法还在不断地深入、完善。

 

为什么要构造“空间矢量”这样的数学模型？各种场合中所提到的“空间矢量”，其含义是否一样？

 

“空间矢量”与电路理论中的“相量”有什么联系和区别？本文将从物理和数学等角度深入地探讨这些问题，将空间矢量总结为两类（Ⅰ类矢和Ⅱ类矢），并给出一般定义及理解。然后进一步探讨了电机空间矢量的运算特点。

 

理想交流电机 m 相绕组（对称、不对称均可，下同）的 m 相电流 i1（t），i2（t），…，im（t）（正弦、非正弦均可，下同）所产生的基波磁动势为：

 

F1（θS，t）=k1i1（t）cos（θS+c1），F2（θS，t）=k2i2（t）cos（θS+c2），……Fm（θS，t）=kmim（t）cos（θS+cm）式中 km是实常数；im（t）是时变实数，θS是自变量，是一个空间位置值，表示电机剖面上从气隙参考点到气隙任一点的转角，取值范围 0-2π；cm是实常数，表示电机剖面上从气隙参考轴到第 m 个绕组正轴线的转角，取值范围 0-2π；如图 1 所示。

 

在电机剖面上建立直角坐标系和 m 个绕组的正轴线（给绕组通以直流电，则绕组产生一个时不变磁交流电机理论中的空间矢量研究谢芳芳1，郑 剑2（1. 湖南工业职业技术学院，湖南 长沙 410082；2. 湖南机电职业技术学院，湖南 长沙 410151）摘要：对交流电机理论中“空间矢量”这一数学模型从物理、数学等角度进行了探讨，将电机空间矢量总结为Ⅰ类矢和Ⅱ类矢两类，并给出一般定义及理解。探讨了电机空间矢量的运算特点，指出它具有数学中二维矢量和复数的全部运算性质。

 

绕组 2 的正轴线F2（大小随时间变化）绕组 1 的正轴线F1（大小随时间变化）x气隙参考点气隙参考轴绕组 m 的正轴线Fm（大小随时间变化）气隙中任一点0cmc1c2图 1 电机剖面上构造的磁动势空间矢量 F1，F2，…，Fm0Bmyx图 2 B 的分布示意、Bm的表示2009 年 第 1 期 谢芳芳，郑 剑 交流电机理论中的空间矢量研究·23·场，规定绕组正轴线与磁场方向一致），并构造出 m个二维矢量 F1，F2，…，Fm。令二维矢的模分别等于 i1（t），i2（t），…，im（t）的绝对值；二维矢的方向始终处于各绕组轴线上，im（t）为正值时，指向与正轴线一致，im（t）为负值时，指向与正轴线相反，如图 1 所示。这些二维矢被称为磁动势空间矢量，简称磁动势矢量。

 

注意“，磁动势”是物理标量，“磁动势矢量”不是物理矢量而是数学构造矢量；磁动势 Fm（θS，t）是一个以空间位置值 θS为自变量的函数（称为空间函数），时间 t 在函数中视为参变量。磁动势矢量 Fm是一个时变二维矢量。

 

令 F=a1F1＋a2F2＋…＋amFm=mx=1ΣaxFx，式中 ax是实常数，则 F 是各磁动势矢量的线性组合。笔者认为，可把 F1，F2，…，Fm命名为基本磁动势矢量，把 F命名为组合磁动势矢量，特别地，把 F= F1＋F2＋…＋Fm=mx=1ΣFx命名为综合磁动势矢量。

 

构造磁动势矢量的好处之一在于可以利用矢量运算来进行 m 相基波磁动势的合成。综合磁动势矢量 F 就是 m 相基波合成磁动势的空间矢量。

 

2.2 Ⅰ类矢的一般定义及理解对于一个以空间位置值 x 为自变量，以时间 t为参变量的正弦函数 y=A（t）cos［Bx+C（t）］，式中 A（t）、C（t）是时变实数或实常数，B 是实常数。为研究方便，按数学上“映射”思想，在平面直角坐标系上建立一条正轴线，从横轴到正轴线的转角为 C（t），并构造一个二维矢量 Y。令｜Y｜＝｜A（t）｜；Y 的方向始终处于正轴线上，A（t）为正值时，指向与正轴线一致，A（t）为负值时，指向与正轴线相反。称二维矢量Y 为空间正弦函数 y 的空间矢量，简称Ⅰ类矢。

 

 

①若物理标量的表达式形如 y=A（t）cos［Bx+C（t）］，当然可以构造出它的空间矢量。若物理矢量的模的表达式形如 y=A（t）cos［Bx+C（t）］，也可以构造出它的空间矢量。

 

［实例］已知气隙磁感应强度 B 的大小 B=0.

 

9cos（0.8x+300t），自变量 x 的含义是，沿气隙圆周建立一条“弯曲”的坐标轴，任取一点为坐标原点，则弯曲轴上的一个点对应一个 x 值。B 沿气隙圆周的分布示意如图 2 所示，B 在物理上是客观存在的。空间矢量 Bm在电机剖面上的表示如图 2 所示，Bm在物理上是不存在的，是一个数学构造矢量，当然它具有一定的物理意义。

 

②C（t）为实常数 C 时，Ⅰ类矢的位置固定不动，称为静止Ⅰ类矢；C（t）为时变实数时，Ⅰ类矢的位置随时间而变化，称为旋转Ⅰ类矢。引例中单相基波磁动势矢量是静止Ⅰ类矢；而 m 相合成基波磁动势矢量是旋转Ⅰ类矢。

 

③表达式 y=A（t）cos［Bx+C］在物理上是驻波的波动方程式；y=A（t）cos［Bx+C（t）］在物理上是行波的波动方程式。

 

④Ⅰ类矢的构造，与电路理论中“相量”的构造相似。前者是从空间正弦函数 y=A（t）cos［Bx+C（t）］到二维矢量 Y 的映射，后者是从时间正弦函数 w=D（t）cos［Et+F］到复数的映射。有的文献把这里的Ⅰ类矢称为空间相量，把电路理论中的“相量”称为时间相量。